O Problema do Conhecimento (Parte 08/08)
Filosofia e Matemática
Se hoje o conceito de “ângulo”, a “teoria das proporções”, a “raiz quadrada”, os números não-inteiros ou negativos, etc., são coisas comuns nas aulas de matemática, isso se deve ao fato dos gregos terem dado grande impulso na sistematização dessas fórmulas.
Entre os gregos, a filosofia começa com uma tomada de consciência sobre os limites da experiência na obtenção do conhecimento. Essa também é a preocupação que dá corpo ao desenvolvimento da matemática grega. Em outras culturas o processo de construção do conhecimento matemático deu-se de maneira diferente. Sabemos hoje que entre os babilônios e egípcios, por volta de 3.500 a.C. já existia um primitivo sistema de escrita numérica. Alguns historiadores consideram, inclusive, a África e não a Grécia o berço da matemática, devido ao material encontrado que sugere que há mais de dezenove mil anos já se pensava matematicamente. Porém, é na Grécia que se verifica um surpreendente nível de abstração de problemas matemáticos, culminando na obra do matemático Euclides, que viveu por volta do ano 300 a.C. Os “Elementos” de Euclides comportam 465 proposições em 13 livros que tratam de geometria, teoria dos números, irracionais e geometria do espaço.
Como destaca o historiador da matemática Árpád Szabó, a matemática pré-helênica não chegou a desenvolver conceitos como “proporção”, “demonstração”, “dedução”, “definição”, “postulado”, “axioma”. Todos esses termos aparecem na obra de Euclides (Szabó, 1977, p. 201). Ainda segundo Szabó, o nível de formalização de problemas matemáticos que encontramos nos Elementos de Euclides recebeu importante subsídio das discussões filosóficas da Grécia clássica, principalmente com Platão e os matemáticos que faziam parte da academia.
Platão é sempre lembrado por recomendar o estudo da matemática para o entendimento pleno da filosofia. É porque a matemática exercita a capacidade de abstração, sem a qual você não entende a filosofia. Na obra platônica encontramos inúmeras passagens onde problemas matemáticos são descritos como forma de exposição de argumentos. A passagem mais célebre é a do Mênon (82b-85e) onde Sócrates conduz um escravo na resolução de um problema de geometria. No diálogo Teeteto, sobre o qual já falamos, há o relato de outro problema que serve para mostrar que o personagem central, Teeteto, pode ser tão bom em filosofia como é em geometria. O tópico em questão é um exercício com números que não são exatos, como 1,4142 e 1,7320 (raízes aproximadas de 2 e 3, respectivamente). Hoje essas quantidades são triviais. Mas entre os gregos a descoberta desse tipo de medida causou bastante perplexidade. Os números que não possuíam raízes exatas eram chamados “números irracionais”.
É importante destacar também que na Grécia clássica a noção de número tem um sentido bem diferente da noção de número na matemática moderna. Para os gregos “dois” é a soma de duas unidades, ou duas quantidades “discretas”, “três” é o triplo da unidade, etc. (Cf. Fowler, The Mathematics of Plato’s Academy, 1987) A noção de “número” indica aquilo que é capaz de possuir partes. Isso significa que a unidade (1) não é um número. A unidade é o nome que se dá para cada parte do número quando esta é identificada até o seu limite, isto é, quando não pode mais ser dividida. Esta noção é definida como aquilo que não tem partes porque, se tiver partes, já não será mais unidade, mas dois, três, etc. Trata-se de uma concepção muito diferente da cotidiana, que vê os números como abstrações e não faz mais a conexão com as coisas que eles representam.
Além disso, os gregos representavam os números com figuras geométricas. O número 3 representava a figura do triângulo porque com três pontos num plano formamos uma figura triangular. O número 4 o quadrado porque com quatro pontos formamos um quadrado e assim sucessivamente.
Se você encontrar pela frente obras filosóficas como a de Descartes, Spinoza ou Platão, e se deparar com afirmações de que a realidade é mais bem apreendida por meio da geometria ou da matemática, pense nisto: antes de ser um símbolo mental cujas seqüências e razões são sistematizadas nos livros de matemática, os números indicam coisas reais existentes no mundo. De modo que se pode olhar para torrões de terra e pensar em cubos, para a água e pensar em bolhas em forma de círculos, para as folhas das árvores e pensar em triângulos ou cones. Era mais ou menos isso que faziam os gregos quando raciocinavam matematicamente sobre a natureza.
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